ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স (Discrete Mathematics) ফাংশন শিক্ষা পর্ব (২)

0
439

১।    ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স কাকে বলে?

[বাকাশিবো:-০২, ০৫, ০৭, ০৮, ১০, ১১]
উত্তরঃ ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স হল বিচ্ছিন্ন গণিত অর্থাৎ কোন সমস্যাকে গাণিতিকভাবে সমাধান করার জন্য বিভিন্ন  ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশে     ভাগ করে বিশ্লেষণী পদ্ধতির দ্বারা সহজে সমাধান করার কৌশলকে ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স বলে।
২।    ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স এর বিষয়বস্তু / আলোচ্য বিষয়গুলো কী কী?                                    [বাকাশিবো:-০৩]
উত্তরঃ ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স এর আলোচ্য বিষয় সমূহ নিম্নরূপ:

(i)        Set Theory

(ii)       Relations

(iii)     Function and algorithm

(iv)      Logic and Propositional calculus

(v)       Victors and Matrices

(vi)      Counting

(vii)    Probability Theory

(viii)   Graph Theory

(ix)      Binary Trees

(x)       Boolean Algebra

ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স (Discrete Mathematics) ফাংশন শিক্ষা পর্ব (২)
৩।    ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স এর প্রয়োগক্ষেত্রগুলো লিখ।                                          [বাকাশিবো:-০২, ০৫]
উত্তরঃ ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স এর প্রয়োগক্ষেত্রগুলো নিম্নরূপ:

ক)    একটি কম্পিউটার সিস্টেমে কি কি উপায়ে ভ্যালিড পাসওয়ার্ড বাছাই করা যায়?
খ)    একটি লটারী জেতার সম্ভব্যতা কতটুকু?
গ)    একটি নেটওয়ার্কে দুটি কম্পিউটারে কোন যোগসূত্র আছে কিনা?
ঘ)    যোগাযোগের ক্ষেত্রে দুটি শহরের মধ্যে সংক্ষিপ্ত কোনটি?
ঙ)    কিভাবে পূর্ণ সংখ্যার তালিকা বর্ধিত ক্রমে সাজানো যায়?
চ)    সাজানোর ক্ষেত্রে কতগুলো পর্যায় দরকার?
ছ)    দুটি পূর্ণ সংখ্যার সংযোগ কিভাবে একটি সার্কিট প্রনয়ন করা যায়?
জ)    কতগুলো ভ্যালিড ইন্টারনেট এ্যাড্রেস সেখানে রয়েছে?
৪।    লজিক কাকে বলে?
উত্তরঃ সকল ম্যাথমেটিক্স সম্পর্কিত যুক্তি ভিত্তিকে লজিক বলে।
৫।    বিবৃতি বা প্রতিজ্ঞা (Proposition) কী?                                     [বাকাশিবো:-০৩, ০৬, ০৭, ০৯, ১০]
উত্তরঃ বিবৃতি প্রতিজ্ঞা হল এমন একটি ঘোষনা মূলক বাক্য যা সত্য বা মিথ্যা প্রকাশ করে, কিন্তু উভয় প্রকাশ করে না।
৬।      অসঙ্গত উক্তি (Contradiction)  বলতে কী বুঝ?                                           [বাকাশিবো:-০৩]
উত্তরঃ কোন যৌগিক উক্তির সত্যতা মান যদি এর মৌলিক উক্তিগুলি সত্যতা মানের সম্ভাব্য প্রতিটি সমাবেশের জন্য মিথ্যা হয় তবে     উক্ত যৌগিক উক্তিকে অসঙ্গত উক্তি (Contradiction) বলে।
৭।    যৌগিক বিবৃতি কাকে বলে?                                                [বাকাশিবো:-০৪, ০৮, ০৯]
উত্তরঃ এক বা একাধিক বিবৃতি যুক্ত হয়ে যখন একটি নতুন বিবৃতি গঠন করে, তখন ঐ নতুন বিবৃতিকে যৌগিক বিবৃতি     (Compound Proposition) বলে।
৮।    তিনটি বেসিক লজিক্যাল অপারেশন এর নাম লিখ।                                            [বাকাশিবো:-০৫, ০৭]
উত্তরঃ তিনটি বেসিক লজিক্যাল অপারেশনের নাম নি¤œরুপঃ
ক)    যোজন (Conjunction) p^q
খ)    বিয়োজন (Disjunction) pvq
গ)    অস্বীকারকরণ (Negation) →p

৯।    যোজন (Conjunction) কি?                                                 [বাকাশিবো:-১৩]
উত্তরঃ যে কোন দুটি বিবৃতি এন্ড দ্বারা যুক্ত হয়ে একটি যৌগিক বিবৃতি গঠিত হলে তাকে মূল বিবৃতির যোজন বলে। সাংকেতিকভাবে,      p^q
যদি p  এবং q  সত্য হয় তবে pvq সত্য হবে, অন্যথায়  মিথ্যা হবে।
যোজনের সত্যতা টেবিল:

 

 p
T T T
T F F
F T F
F F F

১০।    বিয়োজন (Disjunction) কি?
উত্তরঃ যে কোন দুটি বিবৃতি অর দ্বারা যুক্ত হয়ে একটি যৌগিক বিবৃতি গঠিত হলে তাকে মূল বিবৃতির বিয়োজন বলে।     সাংকেতিকভাবে,  pvq
যদি p  এবং q  মিথ্যা হয় তবে pvq মিথ্যা হবে, অন্যথায়  সত্য হবে।
বিয়োজনের সত্যতা টেবিল:

 

 

T T T
T F T
F T T
F F F

১১।    অস্বীকারকরণ (Negation) কি?
উত্তরঃ একটি প্রদত্ত বিবৃতি p এর অন্য বিবৃতিকে অস্বীকারকরণ (Negation) বলে।
সাংকেতিকভাবে,  →p
অস্বীকারকরণ এর সত্যতা টেবিল:

T F
F T

১২।    টটোলজি কাকে বলে?                                                    [বাকাশিবো:-০৯, ১৩]
উত্তরঃ কোন যৌগিক বিবৃতির সত্যতা মান যদি এর মৌলিক বিবৃতির সত্যতা মানের সম্ভাব্য প্রতিটি সমাবেশের জন্য মিথ্যা হয়, তবে     উক্ত যৌগিক বিবৃতিকে টটোলজি বলে।
১৩।    ডিজিটাল কম্পিউটার সিস্টেমে ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স এর গুরুত্ব আলোচনা কর।         [বাকাশিবো:-০২, ০৩, ০৫, ০৭, ০৮, ০৯]
উত্তরঃ ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স হল বিচ্ছিন্ন গণিত। অর্থাৎ সমস্যাকে বিভিন্ন ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশে বিভক্ত করে উহার গাণিতিক ভাবে সমাধান     করার কৌশলকে ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স বলে। ডিজিটাল কম্পিউটার শুধুমাত্র গণনাকারী যন্ত্রই নয়। এর কার্যপরিধি আরও অনেক     ব্যাপক। এর সাহায্যে গণনা করা যায়। গানিতক হিসাব যেমন – যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ করা যায়। এমনকি এই কম্পিউটার     মানুষের চেয়েও নির্ভুলভাবে জটিল কাজের দ্রুত সমাধান দিতে পারে। ডিজিটাল কম্পিউটার সঅধারণ কম্পিউটার থেকে অনেক     উন্নত। ডিজিটাল কম্পিউটার সিস্টেমে তথ্য, উপাত্ত জমা করা এবং সুনিপন ভাবে পরিচালনা করাই ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স ব্যবহারের     মূল কারণ। ডেটা স্ট্রাকচার, এলগরিদম, ডেটাবেস তত্ব, অটোমেটা তত্ব, ফরমাল ল্যাংগুয়েজ, কম্পাইলার তত্ব, কম্পিউটার নিরাপত্তা এবং অপারেটিং সিস্টেম প্রভৃতি বিশ্লেষণ ও পরিচলনে ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স এর গুরুত্ব ও প্রয়োজনীয়তা অনস্বীকার্য।

১৪। A={1,2}, B={a,b,c}      হলে   A×B =?                                        [বাকাশিবো:-০৭, ০৮]
উত্তরঃ   A×B = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}

১৫।    প্রমান কর যে:- যেখানে-
উত্তরঃ দেওয়া আছে,
এখন,

(প্রমাণিত)
১৬।    প্রমান কর যে:-  লজিক্যাল সমান। p^(qvr)=(p^q) v (p^r) লজিকাল সমান                      [বাকাশিবো:-০৩,০৮,১১]
উত্তরঃ

ফাংশন টেবিল (লজিক্যাল সমান) ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স (Discrete Mathematics) ফাংশন শিক্ষা পর্ব (২)

(প্রমাণিত)

১৭।    সংযোগ (Union) সেট কাকে বলে?                                                      [বাকাশিবো:-০৬]
উত্তরঃ দুটি সেটের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে সংযোগ সেট বলে। A,B   দুটি সেট হলে তাদের সংযেযাগ সেটকে  A U B  ,     প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
১৮।    ছেদ (Intersection) সেট কাকে বলে?                                                  [বাকাশিবো:-০৬]
উত্তরঃ দুটি সেটের কমন উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ সেট বলে। A,B   দুটি সেট হলে তাদের ছেদ সেটকে A∩B  , প্রতীক    দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
১৯।    বিযুক্ত বা ডিসজয়েন্ট বা নিশ্চেদ সেট কাকে বলে?                                [বাকাশিবো:-০২, ০৬, ০৭, ০৯, ১০]
উত্তরঃ দুটি সেটের কমন কোন উপাদান না থাকলে সেট দুটিকে বিযুক্ত বা ডিসজয়েন্ট বা নিশ্চেদ সেট বলে।

২২।    ফাংশন কাকে বলে?                                                         [বাকাশিবো:- ১০]
উত্তরঃ ধরি দুটি সেট A এবং B । A সেটের প্রত্যেকটি উপাদান B সেটের কোন না কোন উপাদানের সাথে সম্পর্কিত হয়, তবে A     থেকে B একটি ফাংশন বলা হবে। ইহাকে  f: A→B  , এভাবে প্রকাশকরা হয়।
২৩।    ফাংশনের ডোমেন কাকে বলে?                                         [বাকাশিবো:-০৩,০৭, ০৯, ১০]
উত্তরঃ f একটি ফাংশন হলে A সেটের প্রত্যেকটি উপাদানকে ফাংশনের ডোমেন বলে।
২৪।    ফাংশনের রেঞ্জ কাকে বলে?                                             [বাকাশিবো:-০৩,০৭, ০৯, ১০]
উত্তরঃ f: A→B, একটি ফাংশন হলে B  সেটের যে সকল উপাদান A  সেটের উপাদানের সাথে সম্পর্কিত তাদেরকে ফাংশনের রেঞ্জ বলে।
২৫।    এক-এক ফাংশন বা One to One Function   কাকে বলে?                          [বাকাশিবো:-০৮, ১৩]
উত্তরঃ কোন ফাংশন f কে এক -এক ফাংশন বলা হবে যদি ডোমেন A এর ভিন্ন ভিন্ন উপাদানের ভিন্ন ভিন্ন ইমেজ বিদ্যমান থাকে।
নিম্নের A সেট এবং B সেটে লক্ষ করি:

ফাংশন টেবিল A and B set ডিসক্রিট ম্যাথমেটিক্স (Discrete Mathematics) ফাংশন শিক্ষা পর্ব (২)

 

এখানে f, একটি এক-এক ফাংশন, কারণ A সেটের একটি উপাদান   a  এর ইমেজ ১। এখানে a উপাদানের কেবলমাত্র একটি     ইমেজ। ঠিক একইভাবে  b এবং  c এরও একটি করে ইমেজ। এ কারণে ফাংশন f, একটি এক-এক ফাংশন।
সার্বিক বা অনটু ফাংশন (Onto Function) : কোন ফাংশন f কে এক -এক ফাংশন বলা হবে যদি B সেটের প্রত্যেকটি উপাদান  A সেটের কোন না কোন উপাদানের ইমেজ হয়।
২৬।    ভেন চিত্র  (Venn Diagram)  কী?                                      [বাকাশিবো:-০৭, ০৮]
উত্তরঃ দুই বা ততোধিক সেটের মধ্যে সম্পর্কে যে চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় ঐ চিত্রকে ভেন চিত্র বলে।
২৭।     Algorithm   কাকে বলে?
উত্তরঃ কোন সমস্যা সমাধানের সুস্পষ্ট ধাপসমূহের ক্রমবিন্যাসকে  Algorithm বলে।
২৮।     Algorithm   এর  Complexity কাকে বলে?                             [বাকাশিবো:-০৪,০৫, ০৭, ১০]
উত্তরঃ কম্পিউটার বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে এলগরিদমকে বিশ্লেষণ করাই অধিক কাজ। এই বিশ্লেষণ ধর্মী গুনাবলীই হচ্ছে এলগরিদম  Complexity.

লেখকঃ Miajanur Rahman

প্রথম যুগটেকে প্রকাশিতঃ- এবং সংরক্ষিত

একটি উত্তর ত্যাগ